help/gd

   1 NAME
   2     gd - gudermannian function
   3
   4 SYNOPSIS
   5     gd(z [,eps])
   6
   7 TYPES
   8     z           number (real or complex)
   9     eps         nonzero real, defaults to epsilon()
  10
  11     return      number or "Log of zero or infinity" error value
  12
  13 DESCRIPTION
  14     Calculate the gudermannian of z to a nultiple of eps with errors in
  15     real and imaginary parts less in absolute value than .75 * eps,
  16     or return an error value if z is close to one of the branch points
  17     at odd multiples of (pi/2) * i.
  18
  19     gd(z) is usually defined initially for real z by one of the formulae
  20
  21                 gd(z) = 2 * atan(exp(z)) - pi/2
  22
  23                       = 2 * atan(tanh(z/2))
  24
  25                       = atan(sinh(z)),
  26
  27     or as the integral from 0 to z of (1/cosh(t))dt.  For complex z, the
  28     principal branch, approximated by gd(z, eps), has the cut:
  29     re(z) = 0, abs(im(z)) >= pi/2; on the cut calc takes gd(z) to be
  30     the limit as z is approached from the right or left according as
  31     im(z) > or < 0.
  32
  33     If z = x + y*i and abs(y) < pi/2, gd(z) is given by
  34
  35         gd(z) = atan(sinh(x)/cos(y)) + i * atanh(sin(y)/cosh(x)).
  36
  37 EXAMPLE
  38     > print gd(1, 1e-5), gd(1, 1e-10), gd(1, 1e-15)
  39     .86577 .8657694832 .865769483239659
  40
  41     > print gd(2+1i, 1e-5), gd(2+1i, 1e-10)
  42     1.42291+.22751i 1.4229114625+.2275106584i
  43
  44 LIMITS
  45     none
  46
  47 LINK LIBRARY
  48     COMPLEX *cgd(COMPLEX *x, NUMBER *eps)
  49
  50 SEE ALSO
  51     agd, exp, ln, sin, sinh, etc.
  52