help/digit

   1 NAME
   2     digit - digit at specified position in a "decimal" representation
   3
   4 SYNOPSIS
   5     digit(x, n [, b])
   6
   7 TYPES
   8     x           real
   9     n           integer
  10     b           integer >= 2, default = 10
  11
  12     return      integer
  13
  14 DESCRIPTION
  15
  16     d(x,n,b) returns the digit with index n in a standard base-b "decimal"
  17     representation of x, which may be described as follows:
  18
  19     For an arbitrary base b >= 2, following the pattern of decimal (base 10)
  20     notation in elementary arithmetic, a base-b "decimal" representation of
  21     a positive real number may be considered to be specified by a finite or
  22     infinite sequence of "digits" with possibly a "decimal" point
  23     to indicate where the fractional part of the representation begins.
  24     Just as the digits for base 10 are the integers 0, 1, 2, ..., 9, the
  25     digits for a base-b representation are the integers d for which
  26     0 <= d < b.   The index for a digit position is the count, positively to
  27     the left, of the number from the "units" position immediately to the
  28     left of the "decimal" point; the digit  d_n  at position n contributes
  29     additively  d_n * b^n  to the value of x.  For example,
  30
  31                 d_2 d_1 d_0 . d_-1 d_-2
  32
  33     represents the number
  34
  35                 d_2 * b^2 + d_1 * b + d0 + d_-1 * b^-1 + d_-2 * b^-2
  36
  37     The sequence of digits has to be infinite if den(x) has a prime factor
  38     which is not a factor of the base b.  In cases where the representation
  39     may terminate, the digits are considered to continue with an infinite
  40     string of zeros rather than the other possibility of an infinite
  41     sequence of (b - 1)s.  Thus, for the above example, d_n = 0 for
  42     n = -3, -4, ...  Similarly, a representation may be considered to
  43     continue with an infinite string of zeros on the left, so that in the
  44     above example d_n = 0 also for n >= 3.
  45
  46     For negative x, digit(x,n,b) is given by digit(abs(x),n,b); the
  47     standard "decimal" representation of this x is a - sign followed by
  48     the representation of abs(x).
  49
  50     In calc, the "real" numbers are all rational and for these the
  51     digits following the decimal point eventually form a recurring sequence.
  52
  53     With base-b digits for x as explained above, the integer whose base-b
  54     representation is
  55
  56                 b_n+k-1 b_n_k-2 ... b_n,
  57
  58     i.e. the k digits with last digit b_n, is given by
  59
  60                 digit(b^-r * x, q, b^k)
  61
  62     if r and q satisfy  n = q * b + r.
  63
  64
  65 EXAMPLE
  66         > a = 123456.789
  67         > for (n = 6; n >= -6; n++) print digit(a, n),; print
  68         0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 0 0
  69
  70         > for (n = 6; n >= -6; n--) print digit(a, n, 100),; print
  71         0 0 0 0 12 34 56 78 90 0 0 0 0
  72
  73         > for (n = 6; n >= -6; n--) print digit(a, n, 256),; print
  74         0 0 0 0 1 226 64 201 251 231 108 139 67
  75
  76         > for (n = 1; n >= -12; n++) print digit(10/7, n),; print
  77         > 0 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1
  78
  79         > print digit(10/7, -7e1000, 1e6)
  80         428571
  81
  82 LIMITS
  83
  84     The absolute value of the integral part of x is assumed to be less
  85     than 2^2^31, ensuring that digit(x, n, b) will be zero if n >= 2^31.
  86     The size of negative n is limited only by the capacity of the computer
  87     being used.
  88
  89 LINK LIBRARY
  90     NUMBER * qdigit(NUMBER *q, ZVALUE dpos, ZVALUE base)
  91
  92 SEE ALSO
  93     bit
  94