help/rcsq

   1 NAME
   2     rcsq - REDC squaring
   3
   4 SYNOPSIS
   5     rcsq(x, m)
   6
   7 TYPES
   8     x           integer
   9     m           odd positive integer
  10
  11     return      integer v, 0 <= v < m.
  12
  13 DESCRIPTION
  14     Let B be the base calc uses for representing integers internally
  15     (B = 2^16 for 32-bit machines, 2^32 for 64-bit machines)
  16     and N the number of words (base-B digits) in the representation
  17     of m.  Then rcsq(x,m) returns the value of B^-N * x^2 % m,
  18     where the inverse implicit in B^-N is modulo m
  19     and the modulus operator % gives the least non-negative residue.
  20
  21     The normal use of rcsq() may be said to be that of squaring modulo m a
  22     value encoded by rcin() and REDC functions, as in:
  23
  24             rcin(x^2, m) = rcsq(rcin(x,m), m)
  25
  26     from which we get:
  27
  28             x^2 % m = rcout(rcsq(rcin(x,m), m), m)
  29
  30     Alternatively, x^2 % m may be evaluated usually more quickly by:
  31
  32             x^2 % m = rcin(rcsq(x,m), m).
  33
  34 RUNTIME
  35     If the value of m in rcsq(x,m) is being used for the first time in
  36     a REDC function, the information required for the REDC algorithms
  37     is calculated and stored for future use, possibly replacing an
  38     already stored valued, in a table covering up to 5 (i.e. MAXREDC)
  39     values of m.  The runtime required for this is about two times that
  40     required for multiplying two N-word integers.
  41
  42     Two algorithms are available for evaluating rcsq(x, m), the one
  43     which is usually faster for small N is used when N <
  44     config("redc2"); the other is usually faster for larger N. If
  45     config("redc2") is set at about 90 and 0 <= x < m, the runtime
  46     required for rcsq(x, m)i is at most about f times the runtime
  47     required for an N-word by N-word multiplication, where f increases
  48     from about 1.1 for N = 1 to near 2.8 for N > 90.  More runtime may
  49     be required if x has to be reduced modulo m.
  50
  51 EXAMPLE
  52     Using a 64-bit machine with B = 2^32:
  53
  54     > for (i = 0; i < 9; i++) print rcsq(i,9),:; print;
  55     0 7 1 0 4 4 0 1 7
  56
  57     > for (i = 0; i < 9; i++) print rcin((rcsq(i,9),:; print;
  58     0 1 4 0 7 7 0 4 1
  59
  60 LIMITS
  61     none
  62
  63 LINK LIBRARY
  64     void zredcsquare(REDC *rp, ZVALUE z1, ZVALUE *res)
  65
  66 SEE ALSO
  67     rcin, rcout, rcmul, rcpow
  68