help/jacobi

   1 NAME
   2     jacobi - Jacobi symbol function
   3
   4 SYNOPSIS
   5     jacobi(x, y)
   6
   7 TYPES
   8     x           integer
   9     y           integer
  10
  11     return      1, -1, or 0
  12
  13 DESCRIPTION
  14     If y is a positive odd prime and x is an integer not divisible
  15     by y, jacobi(x,y) returns the Legendre symbol function, usually
  16     denoted by (x/y) as if x/y were a fraction; this has the value
  17     1 or -1 according as x is or is not a quadratic residue modulo y.
  18     x is a quadratic residue modulo y if for some integer u,
  19     x = u^2 (mod y); if for all integers u, x != u^2 (mod y), x
  20     is said to be a quadratic nonresidue modulo y.
  21
  22     If y is a positive odd prime and x is divisible by y, jacobi(x,y)
  23     returns the value 1.  (This differs from the zero value usually
  24     given in number theory books for (x/y) when x and y
  25     are not relatively prime.)
  26     assigned to (x/y) O
  27
  28     If y is an odd positive integer equal to p_1 * p_2 * ... * p_k,
  29     where the p_i are primes, not necessarily distinct, the
  30     jacobi symbol function is given by
  31
  32                 jacobi(x,y)  =  (x/p_1) * (x/p_2) * ... * (x/p_k).
  33
  34     where the functions on the right are Legendre symbol functions.
  35
  36     This is also often usually by (x/y).
  37
  38     If jacobi(x,y) = -1, then x is a quadratic nonresidue modulo y.
  39     Equivalently, if x is a quadratic residue modulo y, then
  40     jacobi(x,y) = 1.
  41
  42     If jacobi(x,y) = 1 and y is composite, x may be either a quadratic
  43     residue or a quadratic nonresidue modulo y.
  44
  45     If y is even or negative, jacobi(x,y) as defined by calc returns
  46     the value 0.
  47
  48 EXAMPLE
  49     > print jacobi(2,3), jacobi(2,5), jacobi(2,15)
  50     -1 -1 1
  51
  52     > print jacobi(80,199)
  53     1
  54
  55 LIMITS
  56     none
  57
  58 LINK LIBRARY
  59     NUMBER *qjacobi(NUMBER *x, NUMBER *y)
  60     FLAG zjacobi(ZVALUE z1, ZVALUE z2)
  61
  62 SEE ALSO
  63